Cálculo Exemplos

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{π}{3}$ em $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $4$ e $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{π}{3}$ em $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ é $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.94719755$ na expressão.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Etapa 6.2

A resposta final é $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Etapa 6.3

Em $0.94719755$ , a segunda derivada é $- 0.53195951$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.14719755$ na expressão.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Etapa 7.2

A resposta final é $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Etapa 7.3

Em $1.14719755$ , a segunda derivada é $0.50208433$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{π}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Etapa 9