Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 10$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.7.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.4

Reescreva $- 20$ como $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.6

Reescreva $- (x + 20)$ como $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x + 20 = 0$

Etapa 2.3

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$x = - 20$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 20$ .

$- 20$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{x + 20}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 20)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 21$ na expressão.

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 21$ e $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 21$ à potência de $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Etapa 6.2.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Etapa 6.3

Em $x = - 21$ , a derivada é $- \frac{1}{9261}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 20)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 20)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 20, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 10$ na expressão.

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.1.1

Some $- 10$ e $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 10$ à potência de $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $10$ e $- 1000$ .

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $10$ de $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Fatore $10$ de $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Etapa 7.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Etapa 7.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Etapa 7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Etapa 7.3

Em $x = - 10$ , a derivada é $\frac{1}{100}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 20, 0)$ .

Acréscimo em $(- 20, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Some $1$ e $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Etapa 8.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Etapa 8.2.3

Divida $21$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Etapa 8.2.4

Multiplique $- 1$ por $21$ .

$f' (1) = - 21$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $- 21$ .

$- 21$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 21$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 20, 0)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Etapa 10