Cálculo Exemplos

$s = (t^{4} - 3 t^{3} + 3) (1 - 2 t^{3})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{4} - 3 t^{3} + 3$ e $g (t) = 1 - 2 t^{3}$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \frac{d}{d t} [1 - 2 t^{3}] + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 t^{3}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t^{3}$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 (3 t^{2})) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Subtraia $6 t^{2}$ de $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{4} - 3 t^{3} + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d t} [- 3 t^{3}]$ .

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Etapa 5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3 t^{3}$ em relação a $t$ é $- 3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [3])$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + \frac{d}{d t} [3])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + 0)$

Etapa 6.2

Some $4 t^{3} - 9 t^{2}$ e $0$ .

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5

Combine os termos.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $t^{4}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1.1

Mova $t^{2}$ .

$t^{2} t^{4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{2 + 4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.1.3

Some $2$ e $4$ .

$t^{6} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $t^{6}$ .

$- 6 \cdot t^{6} - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.3

Multiplique $- 6$ por $- 3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{3} t^{2} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.4

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.4.1

Mova $t^{2}$ .

$- 6 t^{6} + 18 (t^{2} t^{3}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 t^{6} + 18 t^{2 + 3} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.4.3

Some $2$ e $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.5

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.7

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3} t^{3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.8

Multiplique $t^{3}$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.8.1

Mova $t^{3}$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 (t^{3} t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3 + 3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.8.3

Some $3$ e $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.9

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

Etapa 7.5.10

Multiplique $- 9$ por $- 2$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{3} t^{2}$

Etapa 7.5.11

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.11.1

Mova $t^{2}$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 (t^{2} t^{3})$

Etapa 7.5.11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{2 + 3}$

Etapa 7.5.11.3

Some $2$ e $3$ .

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

Etapa 7.5.12

Subtraia $8 t^{6}$ de $- 6 t^{6}$ .

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

Etapa 7.5.13

Subtraia $9 t^{2}$ de $- 18 t^{2}$ .

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2} + 18 t^{5}$

Etapa 7.5.14

Some $18 t^{5}$ e $18 t^{5}$ .

$- 14 t^{6} + 36 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2}$