Cálculo Exemplos

$18 x {(x - 1)}^{3}$

Etapa 1

Escreva $18 x {(x - 1)}^{3}$ como uma função.

$f (x) = 18 x {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x {(x - 1)}^{3}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$18 (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$18 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$18 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.4

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.1.1.4.6

Multiplique ${(x - 1)}^{3}$ por $1$ .

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3})$

Etapa 2.1.1.5

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (x (3 {(x - 1)}^{2})) + 18 {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.1.1.5.2

Multiplique $3$ por $18$ .

$54 (x ({(x - 1)}^{2})) + 18 {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.1.1.5.3

Fatore $18 {(x - 1)}^{2}$ de $54 x {(x - 1)}^{2} + 18 {(x - 1)}^{3}$ .

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Etapa 2.1.1.5.3.1

Fatore $18 {(x - 1)}^{2}$ de $54 x {(x - 1)}^{2}$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 18 {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.1.1.5.3.2

Fatore $18 {(x - 1)}^{2}$ de $18 {(x - 1)}^{3}$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 18 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.3.3

Fatore $18 {(x - 1)}^{2}$ de $18 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 18 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (3 x + x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.4

Some $3 x$ e $x$ .

$18 {(x - 1)}^{2} (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.5

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$18 ((x - 1) (x - 1)) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.6

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.1.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.1.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$18 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.7.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$18 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.7.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$18 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.7.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$18 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$18 (x^{2} - x - x + 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.7.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$18 (x^{2} - 2 x + 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(18 x^{2} + 18 (- 2 x) + 18 \cdot 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.9

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.5.9.1

Multiplique $- 2$ por $18$ .

$(18 x^{2} - 36 x + 18 \cdot 1) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.9.2

Multiplique $18$ por $1$ .

$(18 x^{2} - 36 x + 18) (4 x - 1)$

Etapa 2.1.1.5.10

Expanda $(18 x^{2} - 36 x + 18) (4 x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$18 x^{2} (4 x) + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$18 \cdot 4 x^{2} x + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.11.2.1

Mova $x$ .

$18 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.5.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 \cdot 4 x^{1 + 2} + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$18 \cdot 4 x^{3} + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.3

Multiplique $18$ por $4$ .

$72 x^{3} + 18 x^{2} \cdot - 1 - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.4

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 x (4 x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 \cdot 4 x \cdot x - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.1.5.11.6.1

Mova $x$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 \cdot 4 (x \cdot x) - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 36 \cdot 4 x^{2} - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.7

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} - 36 x \cdot - 1 + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.8

Multiplique $- 1$ por $- 36$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} + 36 x + 18 (4 x) + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.9

Multiplique $4$ por $18$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} + 36 x + 72 x + 18 \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.5.11.10

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$72 x^{3} - 18 x^{2} - 144 x^{2} + 36 x + 72 x - 18$

Etapa 2.1.1.5.12

Subtraia $144 x^{2}$ de $- 18 x^{2}$ .

$72 x^{3} - 162 x^{2} + 36 x + 72 x - 18$

Etapa 2.1.1.5.13

Some $36 x$ e $72 x$ .

$f' (x) = 72 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x - 18$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $72 x^{3} - 162 x^{2} + 108 x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [72 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [72 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $72 x^{3}$ em relação a $x$ é $72 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$72 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$72 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $72$ .

$216 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 162 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 162 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 162 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 162 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$216 x^{2} - 162 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$216 x^{2} - 162 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 162$ .

$216 x^{2} - 324 x + \frac{d}{d x} [108 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Como $108$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $108 x$ em relação a $x$ é $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $108$ por $1$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.2.5.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 + 0$

Etapa 2.1.2.5.2

Some $216 x^{2} - 324 x + 108$ e $0$ .

$f'' (x) = 216 x^{2} - 324 x + 108$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $216 x^{2} - 324 x + 108$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $216 x^{2} - 324 x + 108 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$216 x^{2} - 324 x + 108 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $108$ de $216 x^{2} - 324 x + 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $108$ de $216 x^{2}$ .

$108 (2 x^{2}) - 324 x + 108 = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $108$ de $- 324 x$ .

$108 (2 x^{2}) + 108 (- 3 x) + 108 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $108$ de $108$ .

$108 (2 x^{2}) + 108 (- 3 x) + 108 (1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $108$ de $108 (2 x^{2}) + 108 (- 3 x)$ .

$108 (2 x^{2} - 3 x) + 108 (1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $108$ de $108 (2 x^{2} - 3 x) + 108 (1)$ .

$108 (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$108 (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 3$ como $- 1$ mais $- 2$

$108 (2 x^{2} + (- 1 - 2) x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$108 (2 x^{2} - 1 x - 2 x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$108 ((2 x^{2} - 1 x) - 2 x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$108 (x (2 x - 1) - (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$108 ((2 x - 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$108 (2 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $108 (2 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 1$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 216 {(0)}^{2} - 324 \cdot 0 + 108$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 216 \cdot 0 - 324 \cdot 0 + 108$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $216$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 324 \cdot 0 + 108$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 324$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 108$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 108$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $108$ .

$f'' (0) = 108$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $108$ .

$108$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1}{2}, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.75$ na expressão.

$f'' (0.75) = 216 {(0.75)}^{2} - 324 \cdot 0.75 + 108$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.75$ à potência de $2$ .

$f'' (0.75) = 216 \cdot 0.5625 - 324 \cdot 0.75 + 108$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $216$ por $0.5625$ .

$f'' (0.75) = 121.5 - 324 \cdot 0.75 + 108$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 324$ por $0.75$ .

$f'' (0.75) = 121.5 - 243 + 108$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $243$ de $121.5$ .

$f'' (0.75) = - 121.5 + 108$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 121.5$ e $108$ .

$f'' (0.75) = - 13.5$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 13.5$ .

$- 13.5$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{1}{2}, 1)$ porque $f'' (0.75)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{1}{2}, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 216 {(4)}^{2} - 324 \cdot 4 + 108$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 216 \cdot 16 - 324 \cdot 4 + 108$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $216$ por $16$ .

$f'' (4) = 3456 - 324 \cdot 4 + 108$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 324$ por $4$ .

$f'' (4) = 3456 - 1296 + 108$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $1296$ de $3456$ .

$f'' (4) = 2160 + 108$

Etapa 7.2.2.2

Some $2160$ e $108$ .

$f'' (4) = 2268$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $2268$ .

$2268$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{1}{2}, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9