Cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e cuja soma é $b = - 13$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 x$ .

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 13$ como $- 1$ mais $- 12$

$3 x^{2} + (- 1 - 12) x + 4 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 12 x + 4 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 1 x) - 12 x + 4 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 4

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $3$ de $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore $3$ de $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Etapa 7.2

Fatore.

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Etapa 7.2.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 7.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 6, - 3$

Etapa 7.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 9

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 9.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 10

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 10.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 3$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{1}{3}, 4$

$x = 6, 3$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$x = \frac{1}{3}, 4, 6, 3$

Etapa 14

Encontre o domínio de $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ .

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Etapa 14.1

Defina o denominador em $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $x$ .

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Etapa 14.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Etapa 14.2.1.1.2

Fatore $3$ de $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Etapa 14.2.1.1.3

Fatore $3$ de $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Etapa 14.2.1.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Etapa 14.2.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Etapa 14.2.1.2

Fatore.

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Etapa 14.2.1.2.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 14.2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 6, - 3$

Etapa 14.2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Etapa 14.2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Etapa 14.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 14.2.3

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.2.3.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 14.2.3.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 14.2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 14.2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 14.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 3$

Etapa 14.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 15

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 16

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 16.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 16.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{3 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 4}{3 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 + 54} \leq 0$

Etapa 16.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{074}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 16.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 16.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{3 {(2)}^{2} - 13 \cdot 2 + 4}{3 {(2)}^{2} - 27 \cdot 2 + 54} \leq 0$

Etapa 16.2.3

O lado esquerdo $- 0.8\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.3

Teste um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.3.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3.5$

Etapa 16.3.2

Substitua $x$ por $3.5$ na desigualdade original.

$\frac{3 {(3.5)}^{2} - 13 \cdot 3.5 + 4}{3 {(3.5)}^{2} - 27 \cdot 3.5 + 54} \leq 0$

Etapa 16.3.3

O lado esquerdo $1.2\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 16.4

Teste um valor no intervalo $4 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.4.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 16.4.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{3 {(5)}^{2} - 13 \cdot 5 + 4}{3 {(5)}^{2} - 27 \cdot 5 + 54} \leq 0$

Etapa 16.4.3

O lado esquerdo $- 2.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.5

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 16.5.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{3 {(8)}^{2} - 13 \cdot 8 + 4}{3 {(8)}^{2} - 27 \cdot 8 + 54} \leq 0$

Etapa 16.5.3

O lado esquerdo $3.0\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 16.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$3 < x < 4$ Falso

$4 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$3 < x < 4$ Falso

$4 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

Etapa 17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{1}{3} \leq x < 3$ ou $4 \leq x < 6$

Etapa 18

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[\frac{1}{3}, 3) \cup [4, 6)$

Etapa 19