Cálculo Exemplos

$y = x - x^{2}$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - x^{2} + x$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- x^{2} + x)}^{2}$ como $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ .

$V = (- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$

Etapa 2.2

Expanda $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2} + x) + x (- x^{2} + x)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2} + x)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova $x$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = x^{4} - x^{1 + 2} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$V = x^{4} - x^{3} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = x^{4} - x^{3} - x \cdot x^{2} + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.7.1

Mova $x^{2}$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.3.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{2 + 1} + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.7.3

Some $2$ e $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x \cdot x$

Etapa 2.3.1.8

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x^{2}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Etapa 10.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Etapa 10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Etapa 10.2.2

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $1$ e em $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3

Simplifique.

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Etapa 10.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1^{3}}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.3

Para escrever $\frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.4

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.5.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.5.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{3 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.5.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{3 + 5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.7

Some $3$ e $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 10.2.3.9.1

Fatore $5$ de $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.9.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.11.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.12

Some $0$ e $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} + 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.14

Some $\frac{8}{15}$ e $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Etapa 10.2.3.16

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}))$

Etapa 10.2.3.17

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.17.1

Fatore $4$ de $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}))$

Etapa 10.2.3.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.17.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Etapa 10.2.3.17.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Etapa 10.2.3.17.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}))$

Etapa 10.2.3.17.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - 0))$

Etapa 10.2.3.18

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} + 0))$

Etapa 10.2.3.19

Some $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4}))$

Etapa 10.2.3.20

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 2}{4})$

Etapa 10.2.3.21

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.21.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 (- 1)}{4})$

Etapa 10.2.3.21.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.21.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 10.2.3.21.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 10.2.3.21.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 1}{2})$

Etapa 10.2.3.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{8}{15} - \frac{1}{2})$

Etapa 10.2.3.23

Para escrever $\frac{8}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 10.2.3.24

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Etapa 10.2.3.25

Escreva cada expressão com um denominador comum de $30$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.25.1

Multiplique $\frac{8}{15}$ por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Etapa 10.2.3.25.2

Multiplique $15$ por $2$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Etapa 10.2.3.25.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{2 \cdot 15})$

Etapa 10.2.3.25.4

Multiplique $2$ por $15$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{30})$

Etapa 10.2.3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{8 \cdot 2 - 15}{30})$

Etapa 10.2.3.27

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.27.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$V = π (\frac{16 - 15}{30})$

Etapa 10.2.3.27.2

Subtraia $15$ de $16$ .

$V = π (\frac{1}{30})$

Etapa 10.2.3.28

Combine $π$ e $\frac{1}{30}$ .

$V = \frac{π}{30}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{π}{30}$

Forma decimal:

$V = 0.10471975 \dots$

Etapa 12