Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 5$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Etapa 2

Reescreva ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$V = x - 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

$V = x - 1$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + - x]_{1}^{5})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}$ e $- x]_{1}^{5}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{5}$

Etapa 7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2} - x$ em $5$ e em $1$ .

$V = π ((\frac{5^{2}}{2} - 1 \cdot 5) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 1 \cdot 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.3

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{25 - 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.2.6.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$V = π (\frac{25 - 10}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.6.2

Subtraia $10$ de $25$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.2.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

Etapa 7.2.2.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Etapa 7.2.2.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Etapa 7.2.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Etapa 7.2.2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.2.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

Etapa 7.2.2.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{- 1}{2})$

Etapa 7.2.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 7.2.2.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Etapa 7.2.2.15

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 7.2.2.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{15 + 1}{2})$

Etapa 7.2.2.17

Some $15$ e $1$ .

$V = π (\frac{16}{2})$

Etapa 7.2.2.18

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 7.2.2.18.1

Fatore $2$ de $16$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2})$

Etapa 7.2.2.18.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.18.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Etapa 7.2.2.18.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Etapa 7.2.2.18.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{8}{1})$

Etapa 7.2.2.18.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$V = π \cdot 8$

Etapa 7.2.2.19

Mova $8$ para a esquerda de $π$ .

$V = 8 π$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = 8 π$

Forma decimal:

$V = 25.13274122 \dots$

Etapa 9