Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1 + t^{3}} d t$

Etapa 1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

Etapa 2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Etapa 3.2

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Etapa 4

Calcule a derivada de $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$