Cálculo Exemplos

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Combine.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $64 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{64 x^{2} x}{x} + \frac{128}{x} + 3$

Etapa 5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{64 x^{2} x + 128}{x} + 3$

Etapa 5.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.1

Fatore $64$ de $64 x^{2} x + 128$ .

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Etapa 5.1.3.1.1

Fatore $64$ de $64 x^{2} x$ .

$\frac{64 (x^{2} x) + 128}{x} + 3$

Etapa 5.1.3.1.2

Fatore $64$ de $128$ .

$\frac{64 (x^{2} x) + 64 \cdot 2}{x} + 3$

Etapa 5.1.3.1.3

Fatore $64$ de $64 (x^{2} x) + 64 \cdot 2$ .

$\frac{64 (x^{2} x + 2)}{x} + 3$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.1.3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{64 (x^{2} x^{1} + 2)}{x} + 3$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{64 (x^{2 + 1} + 2)}{x} + 3$

Etapa 5.1.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{64 (x^{3} + 2)}{x} + 3$

Etapa 5.1.4

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{64 (x^{3} + 2)}{x} + \frac{3 x}{x}$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{64 (x^{3} + 2) + 3 x}{x}$

Etapa 5.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{64 x^{3} + 64 \cdot 2 + 3 x}{x}$

Etapa 5.1.6.2

Multiplique $64$ por $2$ .

$\frac{64 x^{3} + 128 + 3 x}{x}$

Etapa 5.1.6.3

Reordene os termos.

$\frac{64 x^{3} + 3 x + 128}{x}$

Etapa 5.1.7

Simplifique.

$\frac{64 x^{3} + 3 x + 128}{x}$

Etapa 5.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$64 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$128$

Etapa 5.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $64 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$64 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$

Etapa 5.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			+	$64 x^{3}$	+	$0$

Etapa 5.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $64 x^{3} + 0$ .

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$

Etapa 5.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$

Etapa 5.7

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$

Etapa 5.8

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$

Etapa 5.9

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$
							+	$3 x$	+	$0$

Etapa 5.10

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x + 0$ .

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$
							-	$3 x$	-	$0$

Etapa 5.11

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$
							-	$3 x$	-	$0$
									+	$128$

Etapa 5.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$64 x^{2} + 3 + \frac{128}{x}$

Etapa 5.13

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 64 x^{2} + 3$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 64 x^{2} + 3$

Etapa 7