Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{3} \ln (6 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3} \ln (6 x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (6 x)$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Combine $\frac{1}{6 x}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.2.1

Fatore $x$ de $6 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{2}}{6} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.4.1

Combine $6$ e $\frac{x^{2}}{6}$ .

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.4.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 1.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.4.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) (3 x^{2}))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 (\ln (6 x) (3 x^{2}))$

Etapa 1.5.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$5 x^{2} + 15 \ln (6 x) x^{2}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{2} \ln (6 x)$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$ .

$10 x + 15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (6 x)$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \cdot 6) + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.8

Combine $\frac{1}{6 x}$ e $6$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.9

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.3.9.1

Cancele o fator comum.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.9.2

Reescreva a expressão.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.10

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$10 x + 15 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.11

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 2.3.11.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.11.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.11.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.11.2.3

Cancele o fator comum.

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.11.2.4

Reescreva a expressão.

$10 x + 15 (\frac{x}{1} + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.3.11.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$10 x + 15 (x + \ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x + 15 x + 15 (\ln (6 x) (2 x))$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $15$ .

$10 x + 15 x + 30 (\ln (6 x) (x))$

Etapa 2.4.2.2

Some $10 x$ e $15 x$ .

$25 x + 30 \ln (6 x) x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 30 x \ln (6 x) + 25 x$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $30 x \ln (6 x) + 25 x$ .

$30 x \ln (6 x) + 25 x$