Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \arctan (x^{2})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.2

Combine $\frac{1}{1 + x^{4}}$ e $5$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

Etapa 1.3.4

Combine frações.

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Etapa 1.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{5}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

Etapa 1.3.4.3

Combine $\frac{10}{1 + x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

Etapa 1.3.4.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x^{4} + 1$ por $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.3

Some $3$ e $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Subtraia $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Combine $10$ e $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.2.1

Multiplique $- 3$ por $10$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.2

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.3

Fatore $10$ de $- 30 x^{4} + 10$ .

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Etapa 2.7.3.1

Fatore $10$ de $- 30 x^{4}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.3.2

Fatore $10$ de $10$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.3.3

Fatore $10$ de $10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.5

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.7

Reescreva $- (3 x^{4} - 1)$ como $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$