Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ de $7$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $56$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $56 x^{\frac{4}{3}}$ em relação a $x$ é $56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.3.7

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.8

Combine $56$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{56 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $4$ por $56$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.4

Combine $\frac{7}{3}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{7}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.7

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.8

Multiplique $\frac{7}{3}$ por $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.9

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.2.10

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{224}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $\frac{224}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Etapa 2.3.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$