Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} x^{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{\sqrt{x}}$ como $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{\sqrt{x}})$ movendo $\sqrt{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

Etapa 3

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

Etapa 4

Reescreva $\sqrt{x} \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Etapa 5.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Etapa 5.1.3

Como o numerador é positivo e o denominador $\sqrt{x}$ se aproxima de zero e é maior do que zero para $x$ próximo a $0$ à direita, a função aumenta sem limite.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 5.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Etapa 5.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Etapa 5.3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

Etapa 5.3.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

Etapa 5.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

Etapa 5.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

Etapa 5.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

Etapa 5.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Etapa 5.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

Etapa 5.3.10.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

Etapa 5.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

Etapa 5.3.12

Simplifique.

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Etapa 5.3.12.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

Etapa 5.3.12.2

Combine os termos.

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Etapa 5.3.12.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

Etapa 5.3.12.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.5

Combine os fatores.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.5.3

Combine $\frac{- 2}{x}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Etapa 5.6

Reduza.

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Etapa 5.6.1

Fatore $x$ de $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Etapa 5.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Etapa 5.6.2.3

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Etapa 5.6.2.4

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Etapa 5.6.2.5

Divida $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Mova o expoente $\frac{1}{2}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 8.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 8.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

Etapa 8.1.4

Avalie o expoente.

$e^{- 2 \cdot 0}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 8.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$