Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 81$ .

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 81$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 81$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $81$ .

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 1.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2.2

Some $162 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$162 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $162 x = 0$ por $162$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $162 x = 0$ por $162$ .

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $162$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{162}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $162$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $162$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $1$ e $81$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $82$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

Etapa 5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 162$ e $6724$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 162$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6724$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

Etapa 5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{81}{3362}$ .

$- \frac{81}{3362}$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{81}{3362}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $162$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $1$ e $81$ .

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $82$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $162$ e $6724$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Fatore $2$ de $162$ .

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6724$ .

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Etapa 6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{81}{3362}$ .

$\frac{81}{3362}$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{81}{3362}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0)$

Etapa 8