Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{8}{9}} + 3 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{8}{9}} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{9}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{9}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{9}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9} x^{\frac{8}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{8}{9} x^{\frac{8}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{8}{9} x^{\frac{8}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{9} x^{\frac{8 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{8}{9} x^{\frac{8 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $9$ de $8$ .

$\frac{8}{9} x^{\frac{- 1}{9}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8}{9} x^{- \frac{1}{9}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8}{9} x^{- \frac{1}{9}} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{8}{9} x^{- \frac{1}{9}} + 3 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{8}{9} x^{- \frac{1}{9}} + 3$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{9}}} + 3$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{8}{9}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{9 x^{\frac{1}{9}}} + 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{8}{9 x^{\frac{1}{9}}} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{1}{9}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{1}{9}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{1}{9}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{8}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{9 x^{\frac{1}{9}}}$ em relação a $x$ é $\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}}]$ .

$\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}}$ como ${(x^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ .

$\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{9}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{9}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{8}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{8}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{8}{9} (- {(x^{\frac{1}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{9}$ .

$\frac{8}{9} (- {(x^{\frac{1}{9}})}^{- 2} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{9}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} (- x^{\frac{1}{9} \cdot - 2} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.5.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $- 2$ .

$\frac{8}{9} (- x^{\frac{- 2}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $9$ de $1$ .

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} (\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{1}{9}$ e $x^{- \frac{8}{9}}$ .

$\frac{8}{9} (- x^{- \frac{2}{9}} \frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9}$ e $x^{- \frac{2}{9}}$ .

$\frac{8}{9} (- \frac{x^{- \frac{8}{9}} x^{- \frac{2}{9}}}{9}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{8}{9}}$ por $x^{- \frac{2}{9}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8}{9} (- \frac{x^{- \frac{8}{9} - \frac{2}{9}}}{9}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{9} (- \frac{x^{\frac{- 8 - 2}{9}}}{9}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.13.3

Subtraia $2$ de $- 8$ .

$\frac{8}{9} (- \frac{x^{\frac{- 10}{9}}}{9}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8}{9} (- \frac{x^{- \frac{10}{9}}}{9}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{10}{9}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{9} (- \frac{1}{9 x^{\frac{10}{9}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.15

Multiplique $\frac{8}{9}$ por $\frac{1}{9 x^{\frac{10}{9}}}$ .

$- \frac{8}{9 (9 x^{\frac{10}{9}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.16

Multiplique $9$ por $9$ .

$- \frac{8}{81 x^{\frac{10}{9}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{8}{81 x^{\frac{10}{9}}} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- \frac{8}{81 x^{\frac{10}{9}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{81 x^{\frac{10}{9}}}$