Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{1 - x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.5

Multiplique.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique ${(1 - x)}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.3.7

Multiplique ${(1 - x)}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x)}^{- 2}$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ como ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = - x + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $- 1$ e $0$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 {(- x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{3}}$