Cálculo Exemplos

$\frac{a x + b}{a x - b}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ é $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ , em que $f (b) = a x + b$ e $g (b) = a x - b$ .

$\frac{(a x - b) \frac{d}{d b} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x + b$ com relação a $b$ é $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a x - b) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $a x$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $a x$ em relação a $b$ é $0$ .

$\frac{(a x - b) (0 + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) (0 + 1) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x - b$ com relação a $b$ é $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $a x$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $a x$ em relação a $b$ é $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d b} [- b]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $- b$ em relação a $b$ é $- \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 - \frac{d}{d b} [b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 - 1 \cdot 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) (0 - 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 1 - (a x + b) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x \cdot 1 - b \cdot 1 - (a x + b) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x \cdot 1 - b \cdot 1 + (- (a x) - b) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x \cdot 1 - b \cdot 1 - (a x) \cdot - 1 - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{a x - b \cdot 1 - (a x) \cdot - 1 - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{a x - b - (a x) \cdot - 1 - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $- a x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a x - b + 1 a x - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.2

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{a x - b + a x - b \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $- b \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a x - b + a x + 1 b}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.2

Multiplique $b$ por $1$ .

$\frac{a x - b + a x + b}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Combine os termos opostos em $a x - b + a x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $- b$ e $b$ .

$\frac{a x + a x + 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2

Some $a x + a x$ e $0$ .

$\frac{a x + a x}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.4.3

Some $a x$ e $a x$ .

$\frac{2 a x}{{(a x - b)}^{2}}$

Etapa 5.5

Reordene os termos.

$\frac{2 a x}{{(- b + a x)}^{2}}$