Cálculo Exemplos

$\sin (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Escreva $\sin (\frac{x}{2})$ como uma função.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.1.1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.4

Multiplique $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.1.2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.1.2.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3.3

Combine frações.

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Etapa 2.1.2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Etapa 2.2.3.3

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 2.2.3.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Etapa 2.2.3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.3.5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Etapa 2.2.3.5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.2.3.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Etapa 2.2.3.5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π - 0)$

Etapa 2.2.3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.5.2.2.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Etapa 2.2.3.6

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 2.2.3.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.2.3.6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.2.3.6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 2.2.3.6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 2.2.3.7

O período da função $\sin (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.2.4

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Etapa 5.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Etapa 5.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Etapa 5.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

Etapa 5.2.1.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.3

Divida $0$ por $4$ .

$f'' (0) = - 0$

Etapa 5.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6