Cálculo Exemplos

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.2.5.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $\frac{7}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.3

Combine $4$ e $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $4$ por $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.5

Combine $\frac{28}{2}$ e $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.6

Cancele o fator comum de $28$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Fatore $2$ de $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.3.6.2.4

Divida $14 x^{3}$ por $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $\frac{71}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{71}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.3

Combine $3$ e $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.4

Multiplique $3$ por $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.5

Combine $\frac{213}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.6

Cancele o fator comum de $213$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.1

Fatore $3$ de $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.4.6.2.4

Divida $71 x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Como $77$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $77 x^{2}$ em relação a $x$ é $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique $2$ por $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Etapa 2.1.6

Avalie $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Etapa 2.1.6.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120 x$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Etapa 2.1.6.3

Multiplique $120$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Etapa 3.2.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.2.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{4} + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$16 + 14 \cdot - 8 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.4

Multiplique $14$ por $- 8$ .

$16 - 112 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.5

Subtraia $112$ de $16$ .

$- 96 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.6

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 96 + 71 \cdot 4 + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.7

Multiplique $71$ por $4$ .

$- 96 + 284 + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.8

Some $- 96$ e $284$ .

$188 + 154 \cdot - 2 + 120$

Etapa 3.2.1.3.9

Multiplique $154$ por $- 2$ .

$188 - 308 + 120$

Etapa 3.2.1.3.10

Subtraia $308$ de $188$ .

$- 120 + 120$

Etapa 3.2.1.3.11

Some $- 120$ e $120$ .

$0$

Etapa 3.2.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120}{x + 2}$

Etapa 3.2.1.5

Divida $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ por $x + 2$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Etapa 3.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Etapa 3.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 3.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 3.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

Etapa 3.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x^{3} + 24 x^{2}$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Etapa 3.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $47 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Etapa 3.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Etapa 3.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $47 x^{2} + 94 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Etapa 3.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

Etapa 3.2.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Etapa 3.2.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $60 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Etapa 3.2.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Etapa 3.2.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $60 x + 120$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Etapa 3.2.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

$0$

Etapa 3.2.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$

Etapa 3.2.1.6

Escreva $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) (x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Etapa 3.2.2.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{3} + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Etapa 3.2.2.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Etapa 3.2.2.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 + 12 \cdot 9 + 47 \cdot - 3 + 60$

Etapa 3.2.2.3.4

Multiplique $12$ por $9$ .

$- 27 + 108 + 47 \cdot - 3 + 60$

Etapa 3.2.2.3.5

Some $- 27$ e $108$ .

$81 + 47 \cdot - 3 + 60$

Etapa 3.2.2.3.6

Multiplique $47$ por $- 3$ .

$81 - 141 + 60$

Etapa 3.2.2.3.7

Subtraia $141$ de $81$ .

$- 60 + 60$

Etapa 3.2.2.3.8

Some $- 60$ e $60$ .

$0$

Etapa 3.2.2.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60}{x + 3}$

Etapa 3.2.2.5

Divida $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ por $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

Etapa 3.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$

Etapa 3.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 3.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 3.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Etapa 3.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Etapa 3.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Etapa 3.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Etapa 3.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} + 27 x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Etapa 3.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

Etapa 3.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Etapa 3.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Etapa 3.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

Etapa 3.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x + 60$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

Etapa 3.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$
										$0$

Etapa 3.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 9 x + 20$

Etapa 3.2.2.6

Escreva $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 9 x + 20)) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $9$ .

$4, 5$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) ((x + 3) ((x + 4) (x + 5))) = 0$

Etapa 3.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) ((x + 3) (x + 4) (x + 5)) = 0$

Etapa 3.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.7

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 2, - 3, - 4, - 5$ .

$- 2, - 3, - 4, - 5$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 4) \cup (- 4, - 3) \cup (- 3, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{4} + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$f' (- 6) = 1296 + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f' (- 6) = 1296 + 14 \cdot - 216 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $14$ por $- 216$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 \cdot 36 + 154 (- 6) + 120$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $71$ por $36$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 + 154 (- 6) + 120$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $154$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 - 924 + 120$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $3024$ de $1296$ .

$f' (- 6) = - 1728 + 2556 - 924 + 120$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 1728$ e $2556$ .

$f' (- 6) = 828 - 924 + 120$

Etapa 6.2.2.3

Subtraia $924$ de $828$ .

$f' (- 6) = - 96 + 120$

Etapa 6.2.2.4

Some $- 96$ e $120$ .

$f' (- 6) = 24$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 6.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 5)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 5)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{9}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $\frac{9^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $9$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{9}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{9^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{9^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.8

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{729}{8}$ para o numerador.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.10.2

Fatore $2$ de $14$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 (7) (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.10.3

Fatore $2$ de $8$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.10.4

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.10.5

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 7 (\frac{- 729}{4}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.11

Combine $7$ e $\frac{- 729}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{7 \cdot - 729}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.12

Multiplique $7$ por $- 729$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{- 5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.14

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.14.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.14.2

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.16

Multiplique $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.17

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.18

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{4}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.19

Multiplique $71 (\frac{81}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.19.1

Combine $71$ e $\frac{81}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{71 \cdot 81}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.19.2

Multiplique $71$ por $81$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.20

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.20.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (\frac{- 9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.20.2

Fatore $2$ de $154$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 (77) (\frac{- 9}{2}) + 120$

Etapa 7.2.1.20.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 9}{2})) + 120$

Etapa 7.2.1.20.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 77 \cdot - 9 + 120$

Etapa 7.2.1.21

Multiplique $77$ por $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} - 693 + 120$

Etapa 7.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{- 5103 + 5751}{4}$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 5103$ e $5751$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Etapa 7.2.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 7.2.3.1

Escreva $- 693$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $\frac{- 693}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Etapa 7.2.3.3

Multiplique $\frac{- 693}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Etapa 7.2.3.4

Escreva $120$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Etapa 7.2.3.5

Multiplique $\frac{120}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Etapa 7.2.3.6

Multiplique $\frac{120}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Etapa 7.2.3.7

Multiplique $\frac{648}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.3.8

Multiplique $\frac{648}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 7.2.3.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.5.1

Multiplique $- 693$ por $16$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.5.2

Multiplique $120$ por $16$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Etapa 7.2.5.3

Multiplique $648$ por $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 2592}{16}$

Etapa 7.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.6.1

Some $- 11088$ e $1920$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 9168 + 6561 + 2592}{16}$

Etapa 7.2.6.2

Some $- 9168$ e $6561$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 2607 + 2592}{16}$

Etapa 7.2.6.3

Some $- 2607$ e $2592$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 15}{16}$

Etapa 7.2.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{15}{16}$

Etapa 7.2.7

A resposta final é $- \frac{15}{16}$ .

$- \frac{15}{16}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{9}{2}$ , a derivada é $- \frac{15}{16}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 5, - 4)$ .

Decréscimo em $(- 5, - 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 4, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{7}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- \frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 1 (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $\frac{7^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{7^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.4

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 8.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.8

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{343}{8}$ para o numerador.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.10.2

Fatore $2$ de $14$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 (7) (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.10.3

Fatore $2$ de $8$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.10.4

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.10.5

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 7 (\frac{- 343}{4}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.11

Combine $7$ e $\frac{- 343}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{7 \cdot - 343}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.12

Multiplique $7$ por $- 343$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.14

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.14.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.14.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.16

Multiplique $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.17

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.18

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{4}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.19

Multiplique $71 (\frac{49}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.19.1

Combine $71$ e $\frac{49}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{71 \cdot 49}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.19.2

Multiplique $71$ por $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.20

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.20.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (\frac{- 7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.20.2

Fatore $2$ de $154$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 (77) (\frac{- 7}{2}) + 120$

Etapa 8.2.1.20.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 7}{2})) + 120$

Etapa 8.2.1.20.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 77 \cdot - 7 + 120$

Etapa 8.2.1.21

Multiplique $77$ por $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} - 539 + 120$

Etapa 8.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{- 2401 + 3479}{4}$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 2401$ e $3479$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Etapa 8.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Escreva $- 539$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $\frac{- 539}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique $\frac{- 539}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Etapa 8.2.3.4

Escreva $120$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Etapa 8.2.3.5

Multiplique $\frac{120}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Etapa 8.2.3.6

Multiplique $\frac{120}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Etapa 8.2.3.7

Multiplique $\frac{1078}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 8.2.3.8

Multiplique $\frac{1078}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 8.2.3.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{16}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Etapa 8.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Multiplique $- 539$ por $16$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Etapa 8.2.5.2

Multiplique $120$ por $16$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Etapa 8.2.5.3

Multiplique $1078$ por $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 4312}{16}$

Etapa 8.2.6

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.1

Some $- 8624$ e $1920$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 6704 + 2401 + 4312}{16}$

Etapa 8.2.6.2

Some $- 6704$ e $2401$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 4303 + 4312}{16}$

Etapa 8.2.6.3

Some $- 4303$ e $4312$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{9}{16}$

Etapa 8.2.7

A resposta final é $\frac{9}{16}$ .

$\frac{9}{16}$

Etapa 8.3

Em $x = - \frac{7}{2}$ , a derivada é $\frac{9}{16}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 4, - 3)$ .

Acréscimo em $(- 4, - 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(- 3, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{5}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 1 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{5^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.4

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.8

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{125}{8}$ para o numerador.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.10.2

Fatore $2$ de $14$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 (7) (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.10.3

Fatore $2$ de $8$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.10.4

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.10.5

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 7 (\frac{- 125}{4}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.11

Combine $7$ e $\frac{- 125}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{7 \cdot - 125}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.12

Multiplique $7$ por $- 125$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{- 875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.14

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 9.2.1.14.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.14.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.16

Multiplique $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.17

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.18

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{4}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.19

Multiplique $71 (\frac{25}{4})$ .

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Etapa 9.2.1.19.1

Combine $71$ e $\frac{25}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{71 \cdot 25}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.19.2

Multiplique $71$ por $25$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1.20.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (\frac{- 5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.20.2

Fatore $2$ de $154$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 (77) (\frac{- 5}{2}) + 120$

Etapa 9.2.1.20.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 5}{2})) + 120$

Etapa 9.2.1.20.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 77 \cdot - 5 + 120$

Etapa 9.2.1.21

Multiplique $77$ por $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} - 385 + 120$

Etapa 9.2.2

Combine frações.

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Etapa 9.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{- 875 + 1775}{4}$

Etapa 9.2.2.2

Some $- 875$ e $1775$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Etapa 9.2.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 9.2.3.1

Escreva $- 385$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Etapa 9.2.3.2

Multiplique $\frac{- 385}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Etapa 9.2.3.3

Multiplique $\frac{- 385}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Etapa 9.2.3.4

Escreva $120$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Etapa 9.2.3.5

Multiplique $\frac{120}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Etapa 9.2.3.6

Multiplique $\frac{120}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Etapa 9.2.3.7

Multiplique $\frac{900}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 9.2.3.8

Multiplique $\frac{900}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 9.2.3.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{16}$

Etapa 9.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Etapa 9.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.5.1

Multiplique $- 385$ por $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Etapa 9.2.5.2

Multiplique $120$ por $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Etapa 9.2.5.3

Multiplique $900$ por $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 3600}{16}$

Etapa 9.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.6.1

Some $- 6160$ e $1920$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 4240 + 625 + 3600}{16}$

Etapa 9.2.6.2

Some $- 4240$ e $625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3615 + 3600}{16}$

Etapa 9.2.6.3

Some $- 3615$ e $3600$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 15}{16}$

Etapa 9.2.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{15}{16}$

Etapa 9.2.7

A resposta final é $- \frac{15}{16}$ .

$- \frac{15}{16}$

Etapa 9.3

Em $x = - \frac{5}{2}$ , a derivada é $- \frac{15}{16}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 3, - 2)$ .

Decréscimo em $(- 3, - 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(- 2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{4} + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- 1) = 1 + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = 1 + 14 \cdot - 1 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $14$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Etapa 10.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 \cdot 1 + 154 (- 1) + 120$

Etapa 10.2.1.5

Multiplique $71$ por $1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 + 154 (- 1) + 120$

Etapa 10.2.1.6

Multiplique $154$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 - 154 + 120$

Etapa 10.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.2.2.1

Subtraia $14$ de $1$ .

$f' (- 1) = - 13 + 71 - 154 + 120$

Etapa 10.2.2.2

Some $- 13$ e $71$ .

$f' (- 1) = 58 - 154 + 120$

Etapa 10.2.2.3

Subtraia $154$ de $58$ .

$f' (- 1) = - 96 + 120$

Etapa 10.2.2.4

Some $- 96$ e $120$ .

$f' (- 1) = 24$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 10.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 2, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 5), (- 4, - 3), (- 2, \infty)$

Decréscimo em: $(- 5, - 4), (- 3, - 2)$

Etapa 12