Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $a = 8$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 8$ na função de linearização.

$L (x) = f (8) + f' (8) (x - 8)$

Etapa 3

Avalie $f (8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.2

Simplifique ${(8)}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Remova os parênteses.

${(8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{2}$

Etapa 3.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 4.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 4.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

Etapa 4.3.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = 4 + \frac{1}{3} (x - 8)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = 4 + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Etapa 6.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Etapa 6.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Etapa 6.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 6.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 6.3

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{12 - 8}{3}$

Etapa 6.5.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 7