Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

Etapa 1.5.3

Simplifique $- 8 \ln (2)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

Etapa 1.5.4

Eleve $2$ à potência de $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

Etapa 1.5.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \ln (256) + 6$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \ln (256) + 6$ e um ponto determinado $(3, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Expanda $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.4.1.1

Multiplique $- \ln (256) \cdot - 3$ .

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Etapa 2.3.1.4.1.1.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4.1.1.2

Simplifique $3 \ln (256)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4.1.2

Eleve $256$ à potência de $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4.1.3

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Etapa 2.3.1.4.2

Reordene os fatores em $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ .

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

Etapa 2.3.3

Subtraia $18$ de $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

Etapa 2.3.4

Reescreva a equação como $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ .

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

Etapa 2.3.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.5.1

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

Etapa 2.3.5.2

Some $17$ aos dois lados da equação.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

Etapa 2.3.6

Divida cada termo em $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Divida cada termo em $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.6.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (x \ln (256))$ como $- (x \ln (256))$ .

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3.1.4

Divida $\ln (16777216)$ por $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3.1.5

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3.1.6

Reescreva $- 1 \cdot (- 6 x)$ como $- (- 6 x)$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3.1.7

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

Etapa 2.3.6.3.1.8

Divida $17$ por $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

Etapa 2.3.7

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.7.1

Mova $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Etapa 2.3.7.2

Fatore $x$ de $- x \ln (256)$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Etapa 2.3.7.3

Fatore $x$ de $6 x$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

Etapa 2.3.7.4

Fatore $x$ de $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ .

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

Etapa 2.3.7.5

Reordene $x$ e $- 1 \ln (256) + 6$ .

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

Etapa 3