Cálculo Exemplos

${(2 x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(2 x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(2 x^{2} - 1)}^{2} d x$

Etapa 4

Expanda ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ como $(2 x^{2} - 1) (2 x^{2} - 1)$ .

$\int (2 x^{2} - 1) (2 x^{2} - 1) d x$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2} - 1) - 1 (2 x^{2} - 1) d x$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2} - 1) d x$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.5

Mova $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.6

Mova $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 4 x^{2} x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 x^{2 + 2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.9

Some $2$ e $2$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.11

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Etapa 4.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 1 d x$

Etapa 4.13

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\int 4 x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 x^{4} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 8

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

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Etapa 11.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Etapa 11.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{4 x^{3}}{3} + x + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$\frac{4}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + x + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(2 x^{2} - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + x + C$