Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Etapa 1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Etapa 1.3

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 3.8

A derivada de $\log_{2} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

Etapa 5.2

Combine $\frac{x}{x + 1}$ e $\ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

Etapa 6

Mova o termo $\ln (2)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

Etapa 7

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Etapa 8.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 8.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Some $1$ e $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Etapa 10.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (2) \cdot 1$

Etapa 10.3

Multiplique $\ln (2)$ por $1$ .

$\ln (2)$