Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{5 x + 3 \sin (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Etapa 1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}$

Etapa 1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 3 \sin (0)}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.6.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \sin (0)}$

Etapa 1.3.6.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.6.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{5 x + 3 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x + 3 \sin (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x + 3 \sin (x)]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [5 x + 3 \sin (x)]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 3 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.5.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 + 3 \cos (x)}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 5 + 3 \cos (x)}$

Etapa 5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 + 3 \cos (x)}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 + lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}$

Etapa 7

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{5 + lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}$

Etapa 8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{5 + 3 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{5 + 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{5 + 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{5 + 3 \cos (0)}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5 + 3 \cos (0)}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5 + 3 \cdot 1}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5 + 3}$

Etapa 11.2.3

Some $5$ e $3$ .

$\frac{1}{8}$