Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{3 x} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $3 e^{3 x} + 1$ por $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} \cdot 1$

Etapa 5

Multiplique $\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

Etapa 6

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Etapa 6.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Etapa 6.1.2.2

Como a função $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $3$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $3$ removido.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Etapa 6.1.2.2.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Etapa 6.1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Etapa 6.1.2.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Etapa 6.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 6.1.3.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 6.1.3.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Etapa 6.1.3.4

Infinito mais infinito é infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.1.3.5

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{3 x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 6.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.3.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.5

Some $9 e^{3 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Etapa 6.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7.5

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Etapa 7

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Etapa 8

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$9 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Etapa 8.1.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Etapa 8.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8.1.3.2

Como a função $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $3$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $3$ removido.

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8.1.3.2.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + 1}$

Etapa 8.1.3.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 8.1.3.5

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 8.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Etapa 8.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{3 x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.8.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.8.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.8.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 8.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + 0}$

Etapa 8.3.10

Some $9 e^{3 x}$ e $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Fatore $3$ de $3 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.2.1

Fatore $3$ de $9 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Etapa 8.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Etapa 8.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Etapa 8.4.2

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Cancele o fator comum.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Etapa 8.4.2.2

Reescreva a expressão.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

Etapa 9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie o limite de $\frac{1}{3}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$9 (\frac{1}{3})$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$3 (3) \frac{1}{3}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 3 \frac{1}{3}$

Etapa 9.2.3

Reescreva a expressão.

$3$