Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 3.1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 3.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , porque a derivada é contínua em $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ e diferenciável em $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ é contínuo em $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ e diferenciável em $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 7.2.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 7.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Resolva $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Simplifique $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.1.1

Multiplique $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

Etapa 8.2.2.1.1.2

Combine.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 8.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

Etapa 8.2.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Etapa 8.2.2.1.3.4.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Etapa 8.2.2.1.3.4.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

Etapa 8.2.2.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 8.2.2.1.4.1

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

Etapa 8.2.2.1.4.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Etapa 8.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.4.3.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

Etapa 8.2.2.1.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Etapa 8.2.2.1.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

Etapa 8.2.2.1.4.4

Divida $0$ por $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Etapa 8.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Etapa 8.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 8.5

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

Etapa 8.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 8.7

Resolva $x$ .

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Etapa 8.7.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 8.7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.7.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 8.7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 8.7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.7.2.2.1

Simplifique $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 8.7.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 8.7.2.2.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 8.7.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 8.7.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.7.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 8.7.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Etapa 8.7.2.2.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Etapa 8.7.2.2.1.6

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Etapa 8.8

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 8.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.8.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 8.8.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 8.8.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 8.9

O período da função $\cos (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.10

Consolide as respostas.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Existe uma reta tangente em $x = π + 2 π n$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = \frac{π}{2}$ e $b = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10