Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{- 8} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{- 8}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 8} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Etapa 1.1.3

Combine frações.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $x^{- 8}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 8}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Etapa 1.1.3.2

Mova $x^{- 8}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{8}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Etapa 1.1.4

Multiplique $x$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $x$ por $x^{8}$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{8}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Etapa 1.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{1 + 8}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Etapa 1.1.4.2

Some $1$ e $8$ .

$\frac{1}{x^{9}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 8$ .

$\frac{1}{x^{9}} + \ln (x) (- 8 x^{- 9})$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Reordene os termos.

$- 8 x^{- 9} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 1.1.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{9}} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 1.1.6.2.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x^{9}}$ .

$\frac{- 8}{x^{9}} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 1.1.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{x^{9}} \ln (x) + \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 1.1.6.2.4

Combine $\ln (x)$ e $\frac{8}{x^{9}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 8}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 1.1.6.2.5

Mova $8$ para a esquerda de $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$ .

$- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} + \frac{1}{x^{9}} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $\frac{1}{x^{9}}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{8 \ln (x)}{x^{9}} = - \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 2.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$- 8 \ln (x) = - 1$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $- 8 \ln (x) = - 1$ por $- 8$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $- 8 \ln (x) = - 1$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 \ln (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 \ln (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (x) = \frac{1}{8}$

Etapa 2.5

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{8}}$

Etapa 2.6

Reescreva $\ln (x) = \frac{1}{8}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{8}} = x$

Etapa 2.7

Reescreva a equação como $x = e^{\frac{1}{8}}$ .

$x = e^{\frac{1}{8}}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{8 \ln (x)}{x^{9}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{9} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[9]{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\sqrt[9]{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{9}$ .

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 3.3

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 3.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $x^{- 8} \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = e^{\frac{1}{8}}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $e^{\frac{1}{8}}$ por $x$ .

${(e^{\frac{1}{8}})}^{- 8} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{8}})}^{- 8}$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot - 8} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 4.1.2.1.2.1

Fatore $8$ de $- 8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot (8 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{8}})$

Etapa 4.1.2.3

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{1}{8}$ para fora do expoente.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{8} \ln (e))$

Etapa 4.1.2.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{1}{e} (\frac{1}{8} \cdot 1)$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{e \cdot 8}$

Etapa 4.1.2.7

Mova $8$ para a esquerda de $e$ .

$\frac{1}{8 e}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{- 8} \ln (0)$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(e^{\frac{1}{8}}, \frac{1}{8 e})$

Etapa 5