Cálculo Exemplos

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x}) d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{x} + e^{- x} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int e^{x} d x + \int e^{- x} d x)$

Etapa 6

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int e^{- x} d x)$

Etapa 7

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 7.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int - e^{u} d u)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - \int e^{u} d u)$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - (e^{u} + C))$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{u}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

Etapa 12.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$