Cálculo Exemplos

$| 2 x - 5 |$

Etapa 1

Escreva $| 2 x - 5 |$ como uma função.

$f (x) = | 2 x - 5 |$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int | 2 x - 5 | d x$

Etapa 4

Defina o argumento no valor absoluto como igual a $0$ para encontrar os possíveis valores para dividir a solução.

$2 x - 5 = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 6

Crie intervalos em torno das soluções para descobrir onde $2 x - 5$ é positivo e negativo.

$(- \infty, \frac{5}{2}), (\frac{5}{2}, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor de cada intervalo em $2 x - 5$ para descobrir onde a expressão é positiva ou negativa.

$\begin{array}{c} Intervalo & Sinal no intervalo \\ (- \infty, \frac{5}{2}) & - \\ (\frac{5}{2}, \infty) & + \end{array}$

Etapa 8

Integre o argumento do valor absoluto.

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Etapa 8.1

Estabeleça a integral com o argumento do valor absoluto.

$\int 2 x - 5 d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x d x + \int - 5 d x$

Etapa 8.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x d x + \int - 5 d x$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 5 d x$

Etapa 8.5

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 5 x + C$

Etapa 8.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 x + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

$x^{2} - 5 x + C$

Etapa 9

Nos intervalos onde o argumento é negativo, multiplique a solução da integral por $- 1$ .

${\begin{cases} - (x^{2} - 5 x + C) & x \leq \frac{5}{2} \\ x^{2} - 5 x + C & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = | 2 x - 5 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - 5 x + C) & x \leq \frac{5}{2} \\ x^{2} - 5 x + C & x > \frac{5}{2} \end{cases}$