Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Etapa 3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Etapa 3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Etapa 3.6.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $15$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.7

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + 0}$

Etapa 3.8

Some $15$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $6$ e $15$ .

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Etapa 4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (2)}{15}$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{5}$

Etapa 5

Avalie o limite de $\frac{2}{5}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2}{5}$