Cálculo Exemplos

$y = (x - 5) (x + 3) (x + 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = (x - 5) (x + 3)$ e $g (x) = x + 4$ .

$(x - 5) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 5) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Etapa 1.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 5) (x + 3) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x + 3$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.4.4.2

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Etapa 1.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Etapa 1.4.7

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + 0))$

Etapa 1.4.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \cdot 1)$

Etapa 1.4.8.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + x + 3)$

Etapa 1.4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 5 + 3)$

Etapa 1.4.8.4

Some $- 5$ e $3$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 2)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 5) x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x - 5 x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Etapa 1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Etapa 1.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7

Combine os termos.

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Etapa 1.5.7.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.5

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 \cdot x - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.6

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$x^{2} - 5 x + 3 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.7

Some $- 5 x$ e $3 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x^{1}) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{1 + 1} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.11

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.12

Multiplique $2$ por $4$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.13

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 \cdot x + 4 \cdot - 2$

Etapa 1.5.7.14

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 x - 8$

Etapa 1.5.7.15

Subtraia $2 x$ de $8 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 6 x - 8$

Etapa 1.5.7.16

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x - 15 + 6 x - 8$

Etapa 1.5.7.17

Some $- 2 x$ e $6 x$ .

$3 x^{2} + 4 x - 15 - 8$

Etapa 1.5.7.18

Subtraia $8$ de $- 15$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 23$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 4 x - 23$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 23$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 23$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $6$ e $0$ .

$f''' (x) = 6$

Etapa 4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 0$