Cálculo Exemplos

$s = \frac{t^{9} + 2 t + 4}{t^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{9} + 2 t + 4$ e $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{9} + 2 t + 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.7

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 + 0) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.8

Some $9 t^{8} + 2$ e $0$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - (t^{9} + 2 t + 4) (2 t)}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10.2

Fatore $t$ de $t^{2} (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.1

Fatore $t$ de $t^{2} (9 t^{8} + 2)$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2)) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10.2.2

Fatore $t$ de $- 2 (t^{9} + 2 t + 4) t$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2)) + t (- 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t^{4}}$

Etapa 1.2.10.2.3

Fatore $t$ de $t (t (9 t^{8} + 2)) + t (- 2 (t^{9} + 2 t + 4))$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t^{4}}$

Etapa 1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t \cdot t^{3}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t \cdot t^{3}}$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4)}{t^{3}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (9 t^{8}) + t \cdot 2 - 2 (t^{9} + 2 t + 4)}{t^{3}}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (9 t^{8}) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{9 t \cdot t^{8} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.2

Multiplique $t$ por $t^{8}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1

Mova $t^{8}$ .

$\frac{9 (t^{8} t) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.2.2

Multiplique $t^{8}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{9 (t^{8} t^{1}) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 t^{8 + 1} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.2.3

Some $8$ e $1$ .

$\frac{9 t^{9} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{9 t^{9} + 2 \cdot t - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{9 t^{9} + 2 t - 2 t^{9} - 4 t - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{9 t^{9} + 2 t - 2 t^{9} - 4 t - 8}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.2

Subtraia $2 t^{9}$ de $9 t^{9}$ .

$\frac{7 t^{9} + 2 t - 4 t - 8}{t^{3}}$

Etapa 1.4.3.3

Subtraia $4 t$ de $2 t$ .

$f' (t) = \frac{7 t^{9} - 2 t - 8}{t^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 t^{9} - 2 t - 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [7 t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [7 t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.3

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t^{9}$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ .

$\frac{t^{3} (7 \frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$\frac{t^{3} (7 (9 t^{8}) + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $9$ por $7$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.6

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.9

Como $- 8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 8$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 + 0) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.10

Some $63 t^{8} - 2$ e $0$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 2.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - (7 t^{9} - 2 t - 8) (3 t^{2})}{t^{6}}$

Etapa 2.2.12

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.12.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Etapa 2.2.12.2

Fatore $t^{2}$ de $t^{3} (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.12.2.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{3} (63 t^{8} - 2)$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Etapa 2.2.12.2.2

Fatore $t^{2}$ de $- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) + t^{2} (- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{6}}$

Etapa 2.2.12.2.3

Fatore $t^{2}$ de $t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) + t^{2} (- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{6}}$

Etapa 2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{6}$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Etapa 2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8)}{t^{4}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (63 t^{8}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8)}{t^{4}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (63 t^{8}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{63 t \cdot t^{8} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.2

Multiplique $t$ por $t^{8}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.1

Mova $t^{8}$ .

$\frac{63 (t^{8} t) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Multiplique $t^{8}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{63 (t^{8} t^{1}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{63 t^{8 + 1} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Some $8$ e $1$ .

$\frac{63 t^{9} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 \cdot t - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.4

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} + 6 t - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} + 6 t + 24}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.2

Subtraia $21 t^{9}$ de $63 t^{9}$ .

$\frac{42 t^{9} - 2 t + 6 t + 24}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3.3

Some $- 2 t$ e $6 t$ .

$\frac{42 t^{9} + 4 t + 24}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4

Fatore $2$ de $42 t^{9} + 4 t + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Fatore $2$ de $42 t^{9}$ .

$\frac{2 (21 t^{9}) + 4 t + 24}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.2

Fatore $2$ de $4 t$ .

$\frac{2 (21 t^{9}) + 2 (2 t) + 24}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.3

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{2 (21 t^{9}) + 2 (2 t) + 2 (12)}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.4

Fatore $2$ de $2 (21 t^{9}) + 2 (2 t)$ .

$\frac{2 (21 t^{9} + 2 t) + 2 (12)}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.5

Fatore $2$ de $2 (21 t^{9} + 2 t) + 2 (12)$ .

$f'' (t) = \frac{2 (21 t^{9} + 2 t + 12)}{t^{4}}$