Cálculo Exemplos

$y = 3 x \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.4.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.4.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$3 (1 + \ln (x))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

Etapa 1.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + 3 \ln (x)$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 3 \ln (x) + 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \ln (x) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3}{x} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{3}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{x}$