Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(x^{2} + 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Some $2 \cdot - 1 x$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.3

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.7.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 2)}{{((- 2) + 1)}^{2} {((- 2) - 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{{(- 2 + 1)}^{2} {(- 2 - 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(- 2 - 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(- 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $\frac{8}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{((- \frac{1}{2}) + 1)}^{2} {((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{2} {(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{2} {(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{- 1 + 2}{2})}^{2} {(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.8.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.10

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}$

Etapa 7.2.2.11

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.11.1

Combine $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ e ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{{(- 1 \cdot - 1)}^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11.3

Aplique a regra do produto a $- 1 (- 1)$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} {(- 1)}^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1 {(- 1)}^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11.5

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11.6

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.11.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2 + 2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11.6.2

Some $2$ e $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{{(- 1)}^{4}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11.7

Combine $\frac{{(- 1)}^{4}}{2^{2}}$ e ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.12.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{{(- 1)}^{4} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.12.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.12.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1 (\frac{9}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.12.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1 (\frac{9}{4})}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.12.5

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{\frac{9}{4}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{\frac{9}{4}}{4}}$

Etapa 7.2.2.14

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 7.2.2.15

Multiplique $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.15.1

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Etapa 7.2.2.15.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{9}{16}}$

Etapa 7.2.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

Etapa 7.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (- 2 (\frac{16}{9}))$

Etapa 7.2.5

Multiplique $- 2 (\frac{16}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Combine $- 2$ e $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

Etapa 7.2.5.2

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{- 32}{9}$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

Etapa 7.2.7

A resposta final é $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $\frac{32}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, 0)$ .

Acréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{4 (\frac{1}{2})}{{((\frac{1}{2}) + 1)}^{2} {((\frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{1}{2} + 1)}^{2} {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{1 + 2}{2})}^{2} {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1 - 2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.10

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

Etapa 8.2.2.11

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.11.1

Combine $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ e ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.11.2

Combine $\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.12.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.12.2.1

Combine $3^{2}$ e $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 1^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.2

Combine ${(- 1)}^{2}$ e $\frac{3^{2} \cdot 1^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (3^{2} \cdot 1^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} (3^{2} \cdot 1^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.4

Aplique a regra do produto a $- 1 (1)$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} \cdot (1^{2} (3^{2} \cdot 1^{2}))}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot (1^{2} (3^{2} \cdot 1^{2}))}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.6

Multiplique $1^{2}$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{1^{2} (3^{2} \cdot 1^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.7

Multiplique $1^{2}$ por $1^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.12.2.7.1

Mova $1^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{1^{2} \cdot 1^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{1^{2 + 2} \cdot 3^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.2.7.3

Some $2$ e $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{1^{4} \cdot 3^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.12.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 3^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 9}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.3.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{9}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.12.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{9}{4}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{\frac{9}{4}}{4}}$

Etapa 8.2.2.14

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 8.2.2.15

Multiplique $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 8.2.2.15.1

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Etapa 8.2.2.15.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{16}}$

Etapa 8.2.3

Divida $4$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2}{\frac{9}{16}}$

Etapa 8.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = - (2 (\frac{16}{9}))$

Etapa 8.2.5

Multiplique $2 (\frac{16}{9})$ .

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Etapa 8.2.5.1

Combine $2$ e $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2 \cdot 16}{9}$

Etapa 8.2.5.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

Etapa 8.2.6

A resposta final é $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $- \frac{32}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 1)$ .

Decréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - \frac{4 (2)}{{((2) + 1)}^{2} {((2) - 1)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{8}{{(2 + 1)}^{2} {(2 - 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.2.1

Some $2$ e $1$ .

$f' (2) = - \frac{8}{3^{2} {(2 - 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (2) = - \frac{8}{3^{2} \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - \frac{8}{9 \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (2) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Etapa 9.3

Em $x = 2$ , a derivada é $- \frac{8}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Decréscimo em: $(0, 1), (1, \infty)$

Etapa 11