Cálculo Exemplos

$h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$

Etapa 1

É possível determinar a função $H (z)$ encontrando a integral indefinida da derivada $h (z)$ .

$H (z) = \int h (z) d z$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$H (z) = \int \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z} d z$

Etapa 3

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 3.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 3.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $2$ de $8 z^{2} + 2$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Fatore $2$ de $8 z^{2}$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2}{2 z^{3} + z}$

Etapa 3.1.1.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2 (1)}{2 z^{3} + z}$

Etapa 3.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (4 z^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{2 z^{3} + z}$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $z$ de $2 z^{3} + z$ .

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Etapa 3.1.1.2.1

Fatore $z$ de $2 z^{3}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z}$

Etapa 3.1.1.2.2

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z^{1}}$

Etapa 3.1.1.2.3

Fatore $z$ de $z^{1}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z \cdot 1}$

Etapa 3.1.1.2.4

Fatore $z$ de $z (2 z^{2}) + z \cdot 1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2} + 1)}$

Etapa 3.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $z (2 z^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $z$ .

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Etapa 3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.5

Cancele o fator comum de $2 z^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.5.2

Divida $2 (4 z^{2} + 1)$ por $1$ .

$2 (4 z^{2} + 1) = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (4 z^{2}) + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.7

Multiplique.

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Etapa 3.1.7.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 z^{2} + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.8.1

Cancele o fator comum de $z$ .

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Etapa 3.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.8.1.2

Divida $A (2 z^{2} + 1)$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2} + 1) + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.8.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.8.4

Multiplique $A$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.8.5

Cancele o fator comum de $2 z^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1.8.5.1

Cancele o fator comum.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.1.8.5.2

Divida $(B z + C) (z)$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + (B z + C) (z)$

Etapa 3.1.8.6

Aplique a propriedade distributiva.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z \cdot z + C z$

Etapa 3.1.8.7

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.8.7.1

Mova $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B (z \cdot z) + C z$

Etapa 3.1.8.7.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z^{2} + C z$

Etapa 3.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.9.1

Mova $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Etapa 3.1.9.2

Reordene $B$ e $z^{2}$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Etapa 3.1.9.3

Mova $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + B z^{2} + C z + A$

Etapa 3.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 3.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $z^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$8 = 2 A + B$

Etapa 3.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $z$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 3.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $z$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A$

Etapa 3.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

Etapa 3.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

$2 = A$

Etapa 3.3.2

Reescreva a equação como $A = 2$ .

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 3.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $8 = 2 A + B$ por $2$ .

$8 = 2 (2) + B$

$A = 2$

$C = 0$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

Etapa 3.3.4

Resolva $B$ em $8 = 4 + B$ .

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Etapa 3.3.4.1

Reescreva a equação como $4 + B = 8$ .

$4 + B = 8$

$A = 2$

$C = 0$

Etapa 3.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$B = 8 - 4$

$A = 2$

$C = 0$

Etapa 3.3.4.2.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

Etapa 3.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 4 A = 2 C = 0$

Etapa 3.3.6

Liste todas as soluções.

$B = 4, A = 2, C = 0$

Etapa 3.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{z} + \frac{4 z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{2}{z} + \frac{(4) \cdot z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2

Some $4 z$ e $0$ .

$\int \frac{2}{z} + \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $z$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{z}$ com relação a $z$ é $\ln (| z |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $z$ , mova $4$ para fora da integral.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{z}{2 z^{2} + 1} d z$

Etapa 8

Deixe $u = 2 z^{2} + 1$ . Depois, $d u = 4 z d z$ , então, $\frac{1}{4} d u = z d z$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = 2 z^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d z}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $2 z^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2} + 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 z^{2} + 1$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Etapa 8.1.3

Avalie $\frac{d}{d z} [2 z^{2}]$ .

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Etapa 8.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $2 z^{2}$ em relação a $z$ é $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Etapa 8.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1]$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 z + \frac{d}{d z} [1]$

Etapa 8.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 8.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $1$ em relação a $z$ é $0$ .

$4 z + 0$

Etapa 8.1.4.2

Some $4 z$ e $0$ .

$4 z$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Etapa 9.2

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 10

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2.2

Reescreva a expressão.

$2 (\ln (| z |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Simplifique.

$2 \ln (| z |) + \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 z^{2} + 1$ .

$2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$ .

$H (z) =$ $2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$