Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, π]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.1.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 3.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 3.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, π)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, π)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, π)$ , porque a derivada é contínua em $(0, π)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, π]$ e diferenciável em $(0, π)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, π]$ e diferenciável em $(0, π)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, π]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Etapa 7.2.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 8

Resolva $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

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Etapa 8.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Etapa 8.3.1.1.2

Some $0$ e $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Etapa 8.3.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Etapa 8.3.1.2.2

Some $π$ e $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Etapa 8.3.1.3

Divida $0$ por $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 8.4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 8.4.1

Substitua $- 4 \sin^{2} (x)$ por $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 8.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 8.4.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 8.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 8.4.3

Subtraia $4$ de $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 8.4.4

Reordene o polinômio.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Etapa 8.4.5

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Etapa 8.4.6

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.4.6.1

Fatore $2$ de $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

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Etapa 8.4.6.1.1

Fatore $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Etapa 8.4.6.1.2

Fatore $2$ de $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Etapa 8.4.6.1.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Etapa 8.4.6.1.4

Fatore $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Etapa 8.4.6.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Etapa 8.4.6.2

Fatore.

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Etapa 8.4.6.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.4.6.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 8.4.6.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Etapa 8.4.6.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Etapa 8.4.6.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Etapa 8.4.6.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.4.6.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Etapa 8.4.6.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Etapa 8.4.6.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Etapa 8.4.6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 8.4.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 8.4.8

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.4.8.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 8.4.8.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 8.4.8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 8.4.8.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.4.8.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.8.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.9

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.4.9.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 8.4.9.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 8.4.10

A solução final são todos os valores que tornam $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 8.4.11

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 8.4.12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Etapa 8.4.13

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.4.13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 8.4.13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.13.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.13.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.13.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 8.4.13.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.13.4.2

Combine frações.

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Etapa 8.4.13.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 8.4.13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.13.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 8.4.13.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 8.4.13.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.4.13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.4.13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.4.13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.4.13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.4.13.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.4.14

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 1$ .

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Etapa 8.4.14.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 8.4.14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.14.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 8.4.14.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 8.4.14.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 8.4.14.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.4.14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.4.14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.4.14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.4.14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.4.14.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.4.15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.4.16

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Existe uma reta tangente em $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = π$

Etapa 10