Cálculo Exemplos

$- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 2.1.1.1.2

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 2.1.1.1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.1.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.1.1.3.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 2.1.1.1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 5$ .

$- 81 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.8

Combine ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.1.9.1

Mova ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.9.2

Multiplique $- 1$ por $- 81$ .

$81 (\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.1.10

Combine $\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ e $81$ .

$\frac{81}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.1.11

Fatore $3$ de $81$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.1.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.1.12.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 ({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.1.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.1.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.1.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.1.1.15

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 2.1.1.16

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.1.16.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.16.2

Multiplique $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ como ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.2.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ e $g (x) = x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 5$ .

$27 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $- 4$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.8

Combine ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.9.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$27 (- \frac{4 \cdot {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.9.2

Mova ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.9.3

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$- 27 (\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 2.1.2.10

Combine $\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ e $- 27$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2.11

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$\frac{- 108}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2.12

Fatore $3$ de $- 108$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 ({(x + 5)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Etapa 2.1.2.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.1.2.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.1.2.17

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 2.1.2.18

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.18.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.1.2.18.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$36 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $36 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x + 5} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Simplifique ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Simplifique.

$x + 5 = 0^{3}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.2.3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 5}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 5}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{((- 8) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $- 8$ e $5$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 5)$ porque $f'' (- 8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 5, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{36}{{((0) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Some $0$ e $5$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 5, \infty)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8