Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{2} \ln (x)$ , $y = 12 \ln (x)$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} \ln (x^{3}) = \ln (x^{12})$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 1, 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = \ln ({(1)}^{12})$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \ln (1^{12})$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique $\ln ({(1)}^{12})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \ln (1)$

Etapa 1.3.2.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Etapa 1.4.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = \ln ({(2)}^{12})$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = \ln (2^{12})$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Etapa 1.4.2.3

Eleve $2$ à potência de $12$ .

$y = \ln (4096)$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{2} \ln (x^{12}) d x - \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $2$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - (x^{2} \ln (x^{3})) d x$

Etapa 3.2

Remova os parênteses.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3})$ como $12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x))$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.6

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int_{1}^{2} \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.7

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x \frac{1}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.8.2.1

Cancele o fator comum.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.8.2.2

Reescreva a expressão.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.9

Aplique a regra da constante.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.10

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 3.11

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.12.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.12.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.12.4

Multiplique $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Etapa 3.12.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.5.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Etapa 3.12.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.5.2.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Etapa 3.12.5.2.2

Cancele o fator comum.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Etapa 3.12.5.2.3

Reescreva a expressão.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Etapa 3.13

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{2} x^{2} d x))$

Etapa 3.14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Etapa 3.15

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.15.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Etapa 3.15.1.2

Combine $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Etapa 3.15.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.15.2.1

Avalie $\ln (x) x$ em $2$ e em $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Etapa 3.15.2.2

Avalie $x$ em $2$ e em $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Etapa 3.15.2.3

Avalie $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ em $2$ e em $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Etapa 3.15.2.4

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5

Simplifique.

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Etapa 3.15.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (2)$ .

$12 (2 \cdot \ln (2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1 \cdot 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{\ln (2) \cdot 8}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.6

Mova $8$ para a esquerda de $\ln (2)$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \cdot \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.8

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8 - 1}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.12

Subtraia $1$ de $8$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{7}{3}}{3})$

Etapa 3.15.2.5.13

Reescreva $\frac{\frac{7}{3}}{3}$ como um produto.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}))$

Etapa 3.15.2.5.14

Multiplique $\frac{7}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{3 \cdot 3})$

Etapa 3.15.2.5.15

Multiplique $3$ por $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$12 (2 \ln (2) + 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.2

Some $2 \ln (2)$ e $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 \ln (2)) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.4

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 \ln (2) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.5

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - \ln (1)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Etapa 3.16.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.16.1.7.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Etapa 3.16.1.7.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Etapa 3.16.1.8

Some $8 \ln (2)$ e $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Etapa 3.16.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$24 \ln (2) - 12 - 3 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.11

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.16.1.11.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 + 3 (- 1) \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.11.2

Cancele o fator comum.

$24 \ln (2) - 12 + 3 \cdot - 1 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.11.3

Reescreva a expressão.

$24 \ln (2) - 12 - (8 \ln (2)) - 3 (- \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.12

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (- \frac{7}{9})$

Etapa 3.16.1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{9}$ para o numerador.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (\frac{- 7}{9})$

Etapa 3.16.1.13.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 (- 1) \frac{- 7}{9}$

Etapa 3.16.1.13.3

Fatore $3$ de $9$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.16.1.13.4

Cancele o fator comum.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.16.1.13.5

Reescreva a expressão.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - \frac{- 7}{3}$

Etapa 3.16.1.14

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1.14.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - - \frac{7}{3}$

Etapa 3.16.1.14.2

Multiplique $- - \frac{7}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1.14.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 1 (\frac{7}{3})$

Etapa 3.16.1.14.2.2

Multiplique $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + \frac{7}{3}$

Etapa 3.16.2

Subtraia $8 \ln (2)$ de $24 \ln (2)$ .

$16 \ln (2) - 12 + \frac{7}{3}$

Etapa 3.16.3

Para escrever $- 12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) - 12 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3}$

Etapa 3.16.4

Combine $- 12$ e $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3}{3} + \frac{7}{3}$

Etapa 3.16.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3 + 7}{3}$

Etapa 3.16.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.6.1

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 36 + 7}{3}$

Etapa 3.16.6.2

Some $- 36$ e $7$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 29}{3}$

Etapa 3.16.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$16 \ln (2) - \frac{29}{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique $16 \ln (2)$ movendo $16$ para dentro do logaritmo.

$\ln (2^{16}) - \frac{29}{3}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $16$ .

$\ln (65536) - \frac{29}{3}$

Etapa 5