Cálculo Exemplos

$x^{3} e^{x^{4}}$

Etapa 1

Escreva $x^{3} e^{x^{4}}$ como uma função.

$f (x) = x^{3} e^{x^{4}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 5.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$\int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 7.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x^{3} e^{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$