Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 + lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Etapa 1.3.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 1.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Etapa 1.3.3.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 1.3.3.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{1 + \cos (2 θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Etapa 3.5

Subtraia $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (2 θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}$

Etapa 3.7

Como $1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ .

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Etapa 3.8.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 3.8.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Etapa 3.8.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Etapa 3.8.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Etapa 3.8.2

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Etapa 3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) (2 \cdot 1)}$

Etapa 3.8.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) \cdot 2}$

Etapa 3.8.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 3.9

Subtraia $2 \sin (2 θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{- \cos (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.3.1.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{- 2 \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Etapa 4.1.3.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{- 2 \sin (π)}$

Etapa 4.1.3.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0}{- 2 \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.3.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sin (2 θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- \cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Etapa 4.3.3

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- - \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\sin (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Etapa 4.3.6

Como $- 2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 2 \sin (2 θ)$ em relação a $θ$ é $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 4.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Etapa 4.3.7.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Etapa 4.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Etapa 4.3.8

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Etapa 4.3.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Etapa 4.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ) \cdot 1}$

Etapa 4.3.11

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $\frac{1}{- 4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ)}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Etapa 5.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Etapa 5.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Etapa 5.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $θ$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 7.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 7.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Etapa 7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Etapa 7.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- \cos (0)}$

Etapa 7.3.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 7.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Etapa 7.6

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Etapa 7.6.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$