Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $\cos (x) e^{x}$ e $e^{x} \cos (x)$ .

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Etapa 2.4.1.1

Reordene $\cos (x)$ e $e^{x}$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Etapa 2.4.1.2

Some $e^{x} \cos (x)$ e $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Etapa 2.4.2

Reordene $\sin (x)$ e $e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Etapa 2.4.3

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Etapa 2.4.4

Some $- e^{x} \sin (x)$ e $e^{x} \sin (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

Etapa 2.4.5

Some $2 e^{x} \cos (x)$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x} \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$