Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{3} - 4)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{3} - 4$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 4$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2})$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 {(x^{3} - 4)}^{3} x^{2}$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os fatores de $12 {(x^{3} - 4)}^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x^{3} - 4)}^{3}$ .

$12 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{3}] + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{3} - 4$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 4$ .

$12 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 4$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (3 x^{2})) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$12 (x^{2} (9 {(x^{3} - 4)}^{2} x^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1

Mova $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x^{2} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (x^{2 + 2} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3

Some $2$ e $2$ .

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} (2 x))$

Etapa 2.7

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{3} - 4)}^{3}$ .

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2})) + 12 (2 {(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Etapa 2.8.2

Multiplique $9$ por $12$ .

$108 (x^{4} ({(x^{3} - 4)}^{2})) + 12 (2 {(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Etapa 2.8.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$108 x^{4} {(x^{3} - 4)}^{2} + 24 ({(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Etapa 2.8.4

Fatore $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ de $108 x^{4} {(x^{3} - 4)}^{2} + 24 {(x^{3} - 4)}^{3} x$ .

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Etapa 2.8.4.1

Fatore $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ de $108 x^{4} {(x^{3} - 4)}^{2}$ .

$12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3}) + 24 {(x^{3} - 4)}^{3} x$

Etapa 2.8.4.2

Fatore $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ de $24 {(x^{3} - 4)}^{3} x$ .

$12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3}) + 12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.4.3

Fatore $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ de $12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3}) + 12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (2 (x^{3} - 4))$ .

$12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.5

Reescreva ${(x^{3} - 4)}^{2}$ como $(x^{3} - 4) (x^{3} - 4)$ .

$12 x ((x^{3} - 4) (x^{3} - 4)) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.6

Expanda $(x^{3} - 4) (x^{3} - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.8.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x (x^{3} (x^{3} - 4) - 4 (x^{3} - 4)) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 4 - 4 (x^{3} - 4)) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 4 - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.8.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.7.1.1

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.8.7.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x (x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 4 - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.7.1.1.2

Some $3$ e $3$ .

$12 x (x^{6} + x^{3} \cdot - 4 - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.7.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$12 x (x^{6} - 4 \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$12 x (x^{6} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.7.2

Subtraia $4 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$12 x (x^{6} - 8 x^{3} + 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(12 x \cdot x^{6} + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.9

Simplifique.

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Etapa 2.8.9.1

Multiplique $x$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.8.9.1.1

Mova $x^{6}$ .

$(12 (x^{6} x) + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.9.1.2

Multiplique $x^{6}$ por $x$ .

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Etapa 2.8.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(12 (x^{6} x^{1}) + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(12 x^{6 + 1} + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.9.1.3

Some $6$ e $1$ .

$(12 x^{7} + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.9.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x \cdot x^{3} + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.9.3

Multiplique $16$ por $12$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x \cdot x^{3} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.10.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.10.1.1

Mova $x^{3}$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 (x^{3} x) + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.10.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.8.10.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 (x^{3} x^{1}) + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.10.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x^{3 + 1} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.10.1.3

Some $3$ e $1$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.10.2

Multiplique $12$ por $- 8$ .

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Etapa 2.8.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 4)$

Etapa 2.8.11.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 x^{3} - 8)$

Etapa 2.8.12

Some $9 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (11 x^{3} - 8)$

Etapa 2.8.13

Expanda $(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (11 x^{3} - 8)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$12 x^{7} (11 x^{3}) + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.14.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.2

Multiplique $x^{7}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.8.14.2.1

Mova $x^{3}$ .

$12 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 \cdot 11 x^{3 + 7} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.2.3

Some $3$ e $7$ .

$12 \cdot 11 x^{10} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.3

Multiplique $12$ por $11$ .

$132 x^{10} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.4

Multiplique $- 8$ por $12$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.6

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.14.6.1

Mova $x^{3}$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 x^{3 + 4} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.6.3

Some $3$ e $4$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 x^{7} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.7

Multiplique $- 96$ por $11$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.8

Multiplique $- 8$ por $- 96$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.10

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.14.10.1

Mova $x^{3}$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 (x^{3} x) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.10.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.8.14.10.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 x^{3 + 1} + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.10.3

Some $3$ e $1$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 x^{4} + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.11

Multiplique $192$ por $11$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 2112 x^{4} + 192 x \cdot - 8$

Etapa 2.8.14.12

Multiplique $- 8$ por $192$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 2112 x^{4} - 1536 x$

Etapa 2.8.15

Subtraia $1056 x^{7}$ de $- 96 x^{7}$ .

$132 x^{10} - 1152 x^{7} + 768 x^{4} + 2112 x^{4} - 1536 x$

Etapa 2.8.16

Some $768 x^{4}$ e $2112 x^{4}$ .

$f'' (x) = 132 x^{10} - 1152 x^{7} + 2880 x^{4} - 1536 x$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $132 x^{10} - 1152 x^{7} + 2880 x^{4} - 1536 x$ .

$132 x^{10} - 1152 x^{7} + 2880 x^{4} - 1536 x$