Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 9$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 9$ na função de linearização.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Etapa 3

Avalie $f (9)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = \sqrt{9}$

Etapa 3.2

Simplifique $\sqrt{9}$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$(\sqrt{9})$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$\sqrt{9}$

Etapa 3.2.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $9$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 4.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.8

Simplifique.

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Etapa 4.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Etapa 4.3.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 6.1.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Etapa 6.1.3.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 6.1.3.3

Cancele o fator comum.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 6.1.3.4

Reescreva a expressão.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Etapa 6.1.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 6.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Etapa 6.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 6.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

Etapa 6.5.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Etapa 7