Cálculo Exemplos

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ é $f' (g (q)) g' (q)$ , em que $f (q) = \sin (q)$ e $g (q) = \frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Etapa 2

Multiplique $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ por $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}} \cdot \frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}]$

Etapa 3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ por $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8} \sqrt{t + 8}}]$

Etapa 3.2

Eleve $\sqrt{t + 8}$ à potência de $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} \sqrt{t + 8}}]$

Etapa 3.3

Eleve $\sqrt{t + 8}$ à potência de $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} {\sqrt{t + 8}}^{1}}]$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1 + 1}}]$

Etapa 3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{2}}]$

Etapa 3.6

Reescreva ${\sqrt{t + 8}}^{2}$ como $t + 8$ .

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Etapa 3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t + 8}$ como ${(t + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{({(t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

Etapa 3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}]$

Etapa 3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Etapa 3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Etapa 3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{1}}]$

Etapa 3.6.5

Simplifique.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}]$

Etapa 4

Como $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ em relação a $q$ é $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \cdot 0$

Etapa 5

Multiplique $\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$ por $0$ .

$0$