Cálculo Exemplos

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $r^{2} \cos (2 θ)$ .

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Etapa 1.1.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Etapa 1.1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Etapa 1.1.2.2

Reordene.

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Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Etapa 1.1.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Etapa 1.1.3

Reescreva $- 1 r^{2}$ como $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Etapa 2

Como $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , substitua $\cos (θ)$ por $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Etapa 3

Como $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , substitua $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ e $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4

Escreva na forma padrão.

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Etapa 4.1

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

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Etapa 4.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.2

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1.1.3.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.2

Eleve $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ à potência de $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ à potência de $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.3.6.5

Simplifique.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.1.1.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.4.2

Aplique a regra do produto a $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.5

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.5.5

Simplifique.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + y^{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1.6.1

Fatore $x^{2} + y^{2}$ de $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.6.2.1

Fatore $x^{2} + y^{2}$ de ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.7

Multiplique $2 x^{2} + 2 y^{2}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.8

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1.8.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.8.2

Fatore $2$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.8.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.9

Cancele o fator comum de $x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.9.2

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Etapa 4.1.1.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Etapa 4.1.1.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Etapa 4.1.2

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Etapa 4.1.3

Divida cada termo em $- y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1.3.1

Divida cada termo em $- y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 4.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 4.1.3.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.3.1.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Etapa 4.1.3.3.1.3

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Etapa 4.1.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Etapa 4.1.5

Simplifique $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Etapa 4.1.5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.5.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Etapa 4.1.5.1.2

Reordene $- 1^{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 4.1.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.2

Para escrever um polinômio na forma padrão, simplifique e organize os termos em ordem decrescente.

$y = a x^{2} + b x + c$

Etapa 4.3

A forma padrão é $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5