Cálculo Exemplos

$5 x^{3} - 4 \sqrt{x} + 4 x + 7$

Etapa 1

Escreva $5 x^{3} - 4 \sqrt{x} + 4 x + 7$ como uma função.

$f (x) = 5 x^{3} - 4 \sqrt{x} + 4 x + 7$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 5 x^{3} - 4 \sqrt{x} + 4 x + 7 d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5 x^{3} d x + \int - 4 \sqrt{x} d x + \int 4 x d x + \int 7 d x$

Etapa 5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int x^{3} d x + \int - 4 \sqrt{x} d x + \int 4 x d x + \int 7 d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 \sqrt{x} d x + \int 4 x d x + \int 7 d x$

Etapa 7

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int \sqrt{x} d x + \int 4 x d x + \int 7 d x$

Etapa 8

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x d x + \int 7 d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 4 x d x + \int 7 d x$

Etapa 10

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 \int x d x + \int 7 d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 7 d x$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 7 x + C$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 7 x + C$

Etapa 13.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 7 x + C$

Etapa 13.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 7 x + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

$\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{2} + 7 x + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{5}{4} x^{4} - \frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{2} + 7 x + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 5 x^{3} - 4 \sqrt{x} + 4 x + 7$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} x^{4} - \frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{2} + 7 x + C$