Cálculo Exemplos

$(2 - x) \sqrt{x}$

Etapa 1

Escreva $(2 - x) \sqrt{x}$ como uma função.

$f (x) = (2 - x) \sqrt{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int (2 - x) \sqrt{x} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (2 - x) x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Expanda $(2 - x) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.2

Fatore o negativo.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Etapa 5.7

Some $2$ e $1$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 11.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = (2 - x) \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$