Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) \cos (x) + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.7

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.8

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.11

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Some $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1.1.4.2

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1.1.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.1.4.4

Expanda $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.5

Combine os termos opostos em $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 1.1.4.5.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.5.2

Some $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.5.3

Some $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.6.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.1.4.6.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.6.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.6.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.6.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.4.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Etapa 1.1.4.6.3

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.4.6.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 1.1.4.6.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 1.1.4.6.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 1.1.4.6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1.1.4.7

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\cos (2 x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 2.6.1

Simplifique.

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Etapa 2.6.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.6.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.6.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.6.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.6.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.6.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.8

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \cos (2 x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ na expressão.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Etapa 5.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Etapa 5.3

Em $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ , a derivada é $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ na expressão.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ , a derivada é $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$

Etapa 8