Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 3 x}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Reordene $8$ e $- 3 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 x + 8}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Etapa 1.2.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é menos infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3.5

Subtraia $3$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + \frac{d}{d x} [11]}$

Etapa 3.8

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + 0}$

Etapa 3.9

Some $18 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $18$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{18 x}$

Etapa 4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.1

Fatore $3$ de $18 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{3 (6 x)}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot - 1}{3 (6 x)}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{6 x}$

Etapa 4.2

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{x}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{- 1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0$

Etapa 6

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $0$ .

$0$