Cálculo Exemplos

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $x - x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 5.2.2

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.1

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

Etapa 5.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

Etapa 5.2.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

Etapa 5.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

Etapa 5.2.3.5

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

Etapa 6

Expanda $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Etapa 6.2

Reordene $x^{\frac{2}{3}}$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Etapa 6.3

Reordene $x^{\frac{2}{3}}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

Etapa 6.5

Fatore o negativo.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

Etapa 6.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

Etapa 6.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

Etapa 6.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Etapa 6.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

Etapa 6.10

Some $2$ e $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{5}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$